给小鱼的小NOTE

抱歉，已经很久没有为你写一些什么了。可我每次提笔都要与扎根颇深的懒惰和恐怕无人在意的矫情忐忑做一番斗争，我常常败下阵来。只有在我心中荒诞的激情格外炽盛时，我才有勇气不顾一切地写点什么出来。

写这篇文章的动机是之前讨论的一道习题，我不可避免会注意到在我们交流中碰到的许多习题并非人为的矫揉造作，它们背后有丰富的背景。只是囿于时间紧迫，许多人不得不走马观花，做完习题或考完试后便立即抛诸脑后了，于是也就无缘得见其中意趣了。这实在是一种遗憾，而我想向你揭示这些无人（向非数学专业的freshman）讲述的精彩故事之冰山一角。我无意于铺陈一般且形式化的理论，只是希望能提供一个窥一斑而见全豹的契机，请原谅诸多地方的随意和不严谨。

本来的问题非常简单：

Q. 假设 n \times r 阶矩阵 A 与 n\times s 阶矩阵 $B$ 的秩分别为 r,s, 并且 r+s > n, 证明存在非零列向量 \xi 使得线性方程组 AX = \xi, BY = \xi 同时有解。

考虑分块矩阵 C = (\begin{matrix}A & -B\end{matrix}), 只需要证明方程组 CZ = 0 有非零解，但是该方程组解空间维数 \ge r+s - n > 0 因此命题成立。证明只需要一句话，可是（除了获得考试分数外）到底为何要考虑这个问题呢？

从几何的角度看，令 V, W\subset \mathbb{F}^n 分别为 A,B 的列空间（列向量张成的空间), 它们分别是 n 维线性空间中的 r, s 维平面，而命题要找的 \xi 就是交 U = V \cap W 中的非零向量，我们其实在研究几何对象的相交。事实上，证明中考虑的 CZ = 0 的解空间和 U 线性同构，我们无非是用线性方程组的语言在说几何上明显的事实：

\dim U = \dim V + \dim W - \dim (V+W) \ge r + s -n.

这是下述古典相交理论中的仿射维数定理最简单（线性）的版本:

定理. (Affine Dimension Theorem) 若 Y,Z 分别是 n 维（仿射）空间 \mathbb{C}^n 中 r,s 维的代数簇，那么 Y \cap Z 的任一不可约分支 W 维数不小于 r+s-n.

这里的出现的某些概念鱼可能未必熟悉，我通过举例子速通一下它们的含义，可以参照线性的版本去理解：

我们主要关心多项式方程组的解集——代数集。若 T 是 n 元复系数多项式构成的集合，它对应的代数集是这些多项式的公共零点构成的集合，即

V(T) = \{P\in\mathbb{C}^n\mid f(P)= 0, \forall f \in T\}.

比如，仿射平面 Z_1 是线性方程组 AX = b 的解，其中 A = (\begin{matrix}a_{ij}\end{matrix})_{m\times n}, b = (\begin{matrix}b_1 & \cdots & b_m\end{matrix})^T, 那么它是仿射函数构成的集合 T = \{a_{i1}X_1 + \cdots + a_{in}X_n - b_i\mid 1\le i \le m\} 对应的代数集。类似的，T' = \{ Y(Y-X^2)\} 对应的代数集 Z_2 是抛物线 Y = X^2 与 X-轴的并。注意，Z_2 是两个代数真子集的并，而 Z_1 不是这样的，我们称 Z_1 是不可约的。我们不严格证明它，不过可以将代数子集类比仿射（或线性）子空间，通过 \mathbb{C}^n 不是有限多个真仿射（或线性）子空间的并（为什么？）来说服自己相信它。代数簇不过是那些不可约的代数集，比如仿射平面就是代数簇，而且可以证明每个代数集都可以唯一地分解为有限多个代数簇的并。因此，若 Y,Z 是代数簇，那么 Y\cap Z 是代数集，它是有限多个不可约分支 W 的并。

接着，我们需要将维数的概念推广到代数簇上。为此需要一个观察：线性空间 V 的维数是它的基 v_1,\cdots, v_d 的向量个数，对每个 1\le i\le d, 我们考虑 v_1,\cdots,v_i 张成的线性子空间 V_i, 就会得到一串顺次真包含的子空间的链

\{0\}=V_0 \subsetneq V_1 \subsetneq \cdots \subsetneq V_d = V,

注意到，维数 d 恰是这样的顺次真包含的线性子空间构成的链的长度的最大值。我们还是用代数子集和线性子空间之间的类比，我们将代数簇 Z 的维数定义为顺次真包含的不可约代数子集构成的链的最大长度。比如，可以证明 \mathbb{C}^n 中的超曲面（n-1维代数簇）恰为一个不可约n元多项式的零点集（如同超平面恰为秩1的线性方程组的解）。

我可以简述一下该定理证明的思想。首先验证 Y 是超曲面（不可约多项式 f 的零点）的情形，这时我们相当于在 Z 上解一个多项式的方程 f = 0，维数理论可以保证 \dim W \ge s - 1. 接着对一般的情形，这道习题的观点可以用来将之归结为一个代数簇是超曲面的情形：

考虑对角集 \Delta = \{(P,P)\in\mathbb{C}^{2n}\mid P \in \mathbb{C}^n\}, 容易看出它是 \mathbb{C}^{2n} 中的 n 个超平面的交。考虑对角映射：

\varphi: Y\cap Z \rightarrow (Y\times Z)\cap \Delta,\\ P \mapsto (P,P),

类似于之前的线性同构，这是代数集之间的同构，我们将两个代数簇的相交归结为 r+s 维代数簇 Y\times Z 与线性代数簇 \Delta 相交。用 n 次和超平面相交的情形就可以完成证明。

但是，这个定理又有什么用呢？计数几何中最基本的例子大概是Bézout定理。粗略地说，若平面代数曲线 Y,Z 次数分别为 d,e, 那么 Y\cap Z 恰有 de 个交点。这里，曲线的相交是考虑相交重数（比如 Y = X^2 和 Y = 0 的交点实际上是二重的，这可以从稍微扰动一般会产生2个交点看出）以及在无穷远处的相交的（所以我们考虑的其实是复射影平面 \mathbb{P}^2 中的代数曲线，即3元不可约齐次多项式的零点集），而上面定理的射影版本保证了交 Y\cap Z 总是非空的。比如，二次曲线（圆锥曲线）与直线会产生2个交点，2条二次曲线会产生4个交点，只是这些交点可能是复点（坐标含有虚数因而在实平面上看不到），可能在无穷远处，还可能是多重的。计数几何中有许多优美的结果，经典的比如 \mathbb{P}^3 中三次曲面上恰有27条（单重）射影直线，射影平面上与给定处于一般位置的5条二次曲线相切的二次曲线有3264条，凡此种种，不一而足。

即使是Bézout定理这样初步的结果，也有很有趣的应用，比如Plücker用它给出了Pascal定理（参见下图）的一个简单证明：

定理. (Pascal) 二次曲线 C 上的内接六边形 P_1P_2\cdots P_6，三组对边 l_1 = P_1P_2, m_1 = P_4P_5; l_2 = P_2P_3, m_2 = P_5P_6; l_3 = P_3P_4, m_3 = P_6P_1 的交点 Q_i = l_i \cap m_i (i=1,2,3) 共线。

Image of Pascal's Theorem

3次曲线 C_1 = l_1 \cup l_2 \cup l_3, C_2 = m_1 \cup m_2 \cup m_3 分别为 f,g 的零点集，考虑3次曲线束

C_\lambda: f+ \lambda g = 0,

注意 C_\lambda 与 C 有6个交点 (内接六边形的顶点 P_i)。可以取合适的参数 \mu 使得 C_\mu 与 C 还有其他的交点，Bézout定理保证 C_\mu 一定分解为一条二次曲线（必定为 C）与一条直线 l 的并，可见 Q_1,Q_2,Q_3 都在 l 上。

限于篇幅，这只是无比美妙的相交理论故事开头简短的序言，更深邃的道理就有待鱼如有兴趣的话自行的探索了, 比如在学完足够的背景知识后去阅读参考书：

Shafarevich, Igor Rostislavovich, and Miles Reid. Basic algebraic geometry . Vol. 1,2. Berlin: Springer-Verlag, 1994.
Hartshorne, Robin. Algebraic geometry . Vol. 52. Springer Science & Business Media, 2013.
Fulton, William. Intersection theory . Springer New York, 1998.
Eisenbud, David, and Joe Harris. 3264 and all that: A second course in algebraic geometry . Cambridge University Press, 2016.